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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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1. Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
c) 1+23+49+827+…1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots

Respuesta

Esta es una serie geométrica, y quizás te resulte un poco más intuitivo una vez que empecemos a trabajar con este tipo de series, pero se trata de esta:

∑n=0∞(23)n\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n

Fijate para convencerte que...

- El primer término es a0=(23)0= 1 a_0 = (\frac{2}{3})^0 = 1

- El segundo término es a1=(23)1=23 a_1 = (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3}

- El tercer término es a2=(23)2=49 a_2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}

- El cuarto término es a3=(23)3=827 a_3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}

y así podríamos seguir...

Como vimos en la clase de series geométricas, en este caso podemos calcular la suma y sabemos que el resultado va a estar dado por:

 ∑n=0∞(23)n =11−23=113=3 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3

(porque en este caso rr es 23\frac{2}{3})

Por lo tanto, la serie que estábamos buscando es esta serie geométrica ∑n=0∞(23)n\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{2}{3})^n y la suma nos da 33.
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